Question

【題目】已知橢圓C： 的左焦點為F(－1，0)，經過點F的直線l0與橢圓交于A，B兩點.當直線l0⊥x軸時，|AB|＝.

(1)求橢圓C的方程；

(2)作直線l⊥x軸，分別過A，B作AA1⊥l，垂足為A1，BB1⊥l，垂足為B1，且△A1FB1是直角三角形.問：是否存在直線l使得∠A1FO＝2∠B1FO？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)存在符合題意的直線l：x＝－1＋.

【解析】試題分析：（1）先求AB，得 ，再結合c=1解得a2＝2，b2＝1.（2）先根據條件確定∠A1FO＝2∠B1FO＝60°.再根據韋達定理求出l0方程，最后根據△A1FB1是直角三角形求出直線l的方程

試題解析：(1)由題意可知c＝1，＝.

又因為a2＝b2＋c2，

解得a2＝2，b2＝1.

所以橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)不妨設點A在x軸上方，由題意可知∠A1FB1＝90°，要使∠A1FO＝2∠B1FO，則當且僅當∠A1FO＝2∠B1FO＝60°.

即tan∠A1FO＝，tan∠B1FO＝.

設直線l與x軸交于點H，則|A1H|＝3|B1H|.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝m，

則A1(m，y1)，B1(m，y2).

所以y1＝－3y2，①

又1＝(m＋1，y1)，FB＝(m＋1，y2)，

由A1F⊥B1F，得FA·FB＝0，即(m＋1)2＋y1y2＝0.

由題意可知，AB不與y軸垂直，所以可設l0的方程為：x＝ty－1，代入橢圓方程＋y2＝1得(t2＋2)y2－2ty－1＝0.

易知Δ＝4t2＋4(t2＋2)>0恒成立.

則y1y2＝－，②

y1＋y2＝.③

由①③可得y1＝，y2＝，④

將④代入②中可得＝，解得t2＝1.

因此y1y2＝－，

從而m＝－1±，由題意可知直線l在焦點F的右側，所以存在符合題意的直線l：x＝－1＋.