Question

【題目】已知函數（為常數）與軸有唯一的公關點．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）曲線在點處的切線斜率為，若存在不相等的正實數，滿足，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數的遞增區間為，遞減區間為；

當時，函數的遞增區間為，無遞減區間．（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）因為函數的定義域為，且，故由題意可知曲線與軸存在公共點，又，對a進行討論分， 四種情況進行可得解（Ⅱ）容易知道函數在處的切線斜率為，得，由（Ⅰ）可知，且函數在區間上遞增．不妨設，因為，則，則有，整理得，利用基本不等式構建關于不等關系即可證得.

試題解析：

（Ⅰ）因為函數的定義域為，且，

故由題意可知曲線與軸存在公共點，又，則有

當時， ，函數在定義域上遞增，滿足條件；

當時，函數在上遞減，在上遞增，

①若時，則，取，則，

故由零點存在定理可知，函數在上還有一個零點，因此不符合題意；

②若，則函數的極小值為，符合題意；

③若，則由函數的單調性，有，取，有．下面研究函數

， ，因為恒成立，故函數在上遞增，故，故成立，函數在區間上存在零點．

不符合題意．

綜上所述：

當時，函數的遞增區間為，遞減區間為；

當時，函數的遞增區間為，無遞減區間．

（Ⅱ）容易知道函數在處的切線斜率為，得，

由（Ⅰ）可知，且函數在區間上遞增．

不妨設，因為，則，

則有，整理得，

由基本不等式得，故，整理得，即．

由函數在上單調遞增，所以，即．