Question

【題目】如圖所示的多面體中，底面ABCD為正方形，△GAD為等邊三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC＝90°，點E是線段GC上除兩端點外的一點，若點P為線段GD的中點．

(Ⅰ)求證：AP⊥平面GCD；

(Ⅱ)求證：平面ADG∥平面FBC；

(Ⅲ)若AP∥平面BDE，求的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析（3）2

【解析】試題分析：(1) 因為△GAD是等邊三角形，點P為線段GD的中點，故AP⊥GD，又CD⊥平面GAD，所以CD⊥AP，從而AP⊥平面GCD.；(2) ∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，又CD∩GD＝D， ∴CD⊥平面FBC，結合（1）可證明結果；(3) 連接PC交DE于點M，連接AC交BD于點O，連接OM，∵AP∥平面BDE，AP∥OM，從而M是PC中點，過P作PN∥DE，交CG于點N，

則N是GE中點，E是CN中點.

試題解析：

(Ⅰ)證明：因為△GAD是等邊三角形，點P為線段GD的中點，故AP⊥GD，

因為AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，AD，GD平面GAD，故CD⊥平面GAD，

又AP平面GAD，故CD⊥AP，

又CD∩GD＝D，CD，GD平面GCD，故AP⊥平面GCD.

(Ⅱ)證明：∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，

∵BC⊥CD，BF∩BC＝B，BF，BC平面FBC，∴CD⊥平面FBC，

由(Ⅰ)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG∥平面FBC.

(Ⅲ)解：連接PC交DE于點M，連接AC交BD于點O，連接OM，

∵AP∥平面BDE，AP∥OM，

∵O是AC中點，∴M是PC中點

過P作PN∥DE，交CG于點N，

則N是GE中點，E是CN中點，∴＝2.