Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）容易知道所圍成正方形的邊長為10，再結合長方體各邊的長度，即可找出正方形的位置，從而畫出這個正方形；

（2）分別以直線DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，考慮用空間向量解決本問，能夠確定A，H，E，F幾點的坐標．設平面EFGH的法向量為，根據即可求出法向量，坐標可以求出，可設直線AF與平面EFGH所成角為θ，由sinθ=即可求得直線AF與平面α所成角的正弦值．

解：（1）交線圍成的正方形EFGH如圖：

（2）作EM⊥AB，垂足為M，則：

EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；

∴，∴AH=10；

以邊DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則：

A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；

∴；

設為平面EFGH的法向量，則：

，取z=3，則；

若設直線AF和平面EFGH所成的角為θ，則：

sinθ==；

∴直線AF與平面α所成角的正弦值為．