Question

【題目】已知數列滿足， ，其中.

（1）設，求證：數列是等差數列，并求出的通項公式；

（2）設，數列的前項和為，是否存在正整數，使得對于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最小值為3.

【解析】試題分析：（1）利用遞推公式即可得出為一個常數，從而證明數列是等差數，再利用等差數列的通項公式即可得到，進而得到；（2）利用（1）的結論，利用“裂項求和”即可得到，要使得對于恒成立，只要，即，解出即可.

試題解析：（1）證明： ，

所以數列是等差數列，

，因此，

由.

（2）由，

所以，

所以，

因為，所以恒成立，

依題意要使對于，恒成立，只需，且 解得， 的最小值為.

【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.