Question

已知函數的減區間是（-2，2）
（1）試求m,n的值；
（2）求過點且與曲線相切的切線方程；
（3）過點A(1,t)，是否存在與曲線相切的3條切線，若存在，求實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

⑴m=1，n="0;" ⑵或;⑶存在, .

解析試題分析：（1）由已知函數單調減區間為(-2,2)即為的解集為(-2,2)，利用根與系數的關系求出m與n的值即可；（2）當A為切點時，利用導數的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程，化成一般式即可，當A不為切點時，設切點為P（x₀，），這時切線的斜率是k=，將點A（1，-11）代入得到關于x₀的方程，即可求出切點坐標，最后求出切線方程；（3）存在滿足條件的三條切線．設點P（x₀，）是曲線f（x）=x³-12x的切點，寫出在P點處的切線的方程為y-=（x-x₀）將點A（1，t）代入，將t分離出來，根據有三條切線，所以方程應有3個實根，設g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲線有3個零點即可．建立不等關系解之即可．
試題解析：⑴由題意知：的解集為（-2，2），所以，-2和2為方程3mx²+4nx-12=0的根，由韋達定理知，解得:m=1，n=0.
⑵∵，∴，∵
當A為切點時，切線的斜率 ，
∴切線為，即；               
當A不為切點時，設切點為，這時切線的斜率是，
切線方程為，即   
因為過點A（1，-11）， ，
∴，
∴或，而為A點，即另一個切點為，
∴，
切線方程為 ，即
所以，過點的切線為或.
⑶ 存在滿足條件的三條切線.                           
設點是曲線的切點，
則在P點處的切線的方程為 即
因為其過點A（1，t），所以，，   
由于有三條切線，所以方程應有3個實根，       
設，只要使曲線有3個零點即可．
設 =0， ∴分別為的極值點，
當時，在和 上單增，
當時，在上單減，
所以，為極大值點，為極小值點.
所以要使曲線與x軸有3個交點，當且僅當即，
解得：.
考點：1.導數研究函數的單調性;2.導數研究曲線上某點切線方程.