Question

已知函數，函數.
⑴當時，函數的圖象與函數的圖象有公共點，求實數的最大值；
⑵當時，試判斷函數的圖象與函數的圖象的公共點的個數；
⑶函數的圖象能否恒在函數的上方？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）的最大值為，（2）時，無公共點，時，有一個公共點，時，有兩個公共點；（3）當或時函數的圖象恒在函數的圖象的上方.

解析試題分析：（1）當時，由圖形可知一次函數與對數函數相切時，取最大值，可以用導數的幾何意義完成；（2）要研究兩函數的公共點個數，由函數的定義域可知只需考慮情況，當時，令得，則原命題等價于研究直線與函數的圖象的公共點的個數，因此利用導數研究函數圖象變化情況，易得結論；（3）把問題轉化為：在時恒成立問題，要注意對取值情況的討論.
試題解析：⑴，由一次函數與對數函數圖象可知兩圖象相切時取最大值，設切點橫坐標為，，, 即實數的最大值為，⑵，即原題等價于直線與函數的圖象的公共點的個數，，在遞增且，在遞減且，時，無公共點，時，有一個公共點，時，有兩個公共點；⑶函數的圖象恒在函數的上方；即在時恒成立，①時圖象開口向下，即在時不可能恒成立，②時，由⑴可得，時恒成立，時不成立，③時，若則，由⑵可得無最小值，故不可能恒成立，若則，故恒成立，若則，故恒成立，綜上，或時，函數的圖象恒在函數的圖象的上方．
考點：導數的幾何意義，用導數分析函數的單調性，最值，恒成立問題，滲透數形結合思想，分類討論的數學思想