Question

已知函數在處有極大值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若過原點有三條直線與曲線相切，求的取值范圍；
（Ⅲ）當時，函數的圖象在拋物線的下方，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）通過對函數f（x）求導，根據函數在x=2處有極值，可知f'（2）=0，解得a的值．
（Ⅱ）把（1）求得的a代入函數關系式，設切點坐標，進而根據導函數可知切線斜率，則切線方程可得，整理可求得b的表達式，令g'（x）=0解得x₁和x₂．進而可列出函數g（x）的單調性進而可知-64＜b＜0時，方程b=g（x）有三個不同的解，結論可得．
（Ⅲ）當x∈[-2，4]時，函數y=f（x）的圖象在拋物線y=1+45x-9x²的下方，進而可知x³-12x²+36x+b＜1+45x-9x²在x∈[-2，4]時恒成立，整理可得關于b的不等式，令h（x）=-x³+3x²+9x+1，對h（x）進行求導由h'（x）=0得x₁和x₂．分別求得h，h（-1），h（3），h（4），進而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，進而求得b的范圍．
試題解析：（Ⅰ），
或，
當時，函數在處取得極小值，舍去；
當時，，函數在處取得極大值，符合題意，∴．（3分）
（Ⅱ），設切點為，則切線斜率為，切線方程為，
即 ，
∴．
令，則，
由得，．
函數的單調性如下：