Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，f（2）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），則不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-2，2）
• B、（-2，0 ）∪（0，2）
• C、（-∞，-2 ）∪（2，+∞）
• D、（-2，0 ）∪（2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，利用導(dǎo)數(shù)得到該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合該函數(shù)的取值情形，進(jìn)行求解．

解答： 解：設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵x＞0，xf′（x）-f（x）＞0，∴
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=

f(x)

x

=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)，
∵f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0，
∴g（2）=0．g（-2）=0，
∴當(dāng)x＜-2時(shí)，g（x）＞0，
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g（x）＜0，
當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等價(jià)于g（x）＞0，
∴當(dāng)x＜-2或x＞2時(shí)，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-2或x＞2}．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．