Question

已知函數f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然對數的底數．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數；
（2）若關于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數；
（2）利用參數分離法，將不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，進行轉化求最值問題即可求實數m的取值范圍．

解答： （1）證明：∵f（x）=e^x+e^-x，
∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），即函數：f（x）是R上的偶函數；
（2）解：若關于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤

e-x-1

ex+e-x-1

在（0，+∞）上恒成立，
設t=e^x，（t＞1），則m≤

1-t

t2-t+1

在（1，+∞）上恒成立，
∵

1-t

t2-t+1

=-

t-1

(t-1)2+(t-1)+1

=-

1

t-1+ 1 t-1 +1

≥-

1

3

，當且僅當t=2時等號成立，
∴m≤-

1

3

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判定，函數單調性和最值的應用，屬于中檔題．