Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，AB=1，AA₁=

6

2

，∠ABC=60°．證明：BD₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：連結BD，交AC于O，連結B₁O交D₁B于E，根據余弦定理求得BD，根據BO∥B₁D₁，確定比例關系分別求得BE，OE，OB，利用勾股定理證明出BD₁⊥OB₁，通過證明出AC⊥面BDD₁，推斷出AC⊥BD₁，最后通過線面垂直的判定定理證明出BD₁⊥平面AB₁C．

解答： 證明：連結BD，交AC于O，連結B₁O交D₁B于E，
∵BO∥B₁D₁，
∴

OE

B1E

=

BE

ED1

=

1

2

，
由余弦定理BD=

1+1-2cos120°×1×1

=

3

，
∴OB=

1

2

BD=

3

2

，
OB₁=

6 4 + 3 4

=

3

2

，
∴OE=

1

3

OB₁=

1

2

，
BD₁=

3+ 6 4

=

3 2

2

，BE=

1

3

BD₁=

2

2

，
∴BE²+OE²=BO²，即BD₁⊥OB₁，
∵底面ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，
∵DD₁⊥AC，
∴AC⊥面BDD₁，
∵BD₁?面BDD₁，
∴AC⊥BD₁，
∵AC?平面AB₁C，OB₁?平面AB₁C，AC∩OB₁=O，
∴BD₁⊥平面AB₁C．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應用．證明的關鍵是找到同一面內同時垂直的兩條相交的線．