Question

空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是邊AB、CD的中點，求證：
（1）MN為AB和CD的公垂線；     
（2）求MN的長；
（3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）如圖所示，連接DM，CM．利用等腰三角形的性質和線面垂直的判定定理及性質定理可證AB⊥MN，CD⊥MN．即MN為AB和CD的公垂線．
（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，利用勾股定理可得CM=

AC2-AM2

，在Rt△CMN中，同理可得MN=

CM2-CN2

即可．
（3）由于

CA

=

CM

+

MN

+

NA

，利用數量積的性質即可得出．

解答： 證明：（1）如圖所示，連接DM，CM．
∵空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是邊AB、CD的中點，
∴CM⊥AB，DM⊥AB，CM∩DM=M，
∴AB⊥平面CMD，
∴AB⊥MN．
同理可證：CD⊥MN．
∴MN為AB和CD的公垂線．
（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，CM=

AC2-AM2

=

a2-( 1 2 a)2

=

3

2

a．
在Rt△CMN中，MN=

CM2-CN2

=

3a2 4 -( 1 2 a)2

=

2

2

a．
（3）設異面直線AN與CM所成角為θ．
cos＜

CM

，

MN

＞=-

MN

CM

=-

2 2 a

3 2 a

=-

2

3

=cos＜

MN

，

NA

＞．
∵

CA

=

CM

+

MN

+

NA

，
∴

CA

2=

CM

2+

MN

2+

NA

2+2

CM

•

MN

+2

MN

•

NA

+2

CM

•

NA

，
∴a²=

3a2

4

+

2a2

4

+

3a2

4

+2×

3

2

a×

2

2

a•(-

2

3

)×2+2×

3

2

a×

3

2

a×cos＜

CM

，

NA

＞，
解得cos＜

CM

，

NA

＞=

2

3

，
∴cosθ=

2

3

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質、線面垂直的判定定理及性質定理、異面直線的公垂線、勾股定理、數量積的性質、異面直線所成的夾角等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．