Question

如圖（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，現將梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一簡單組合體ABCDEF如圖（2）示，已知M，N分別為AF，BD的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCF；
（Ⅱ）若直線DE與平面ABFE所成角的正切值為

2

2

，則求平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）連結AC，通過證明MN∥CF，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面BCF．
（II）先由線面垂直的判定定理可證得AD⊥平面ABFE，可知∠DEA就是DE與平面ABFE所成的角，解Rt△DAE，可得AD及DE的長，分別以AB，AP，AD所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面ADE與平面CDFE的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）連AC，

∵四邊形ABCD是矩形，N為BD中點，
∴N為AC中點．
在△ACF中，M為AF中點，
故MN∥CF．
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，
∴MN∥平面BCF．
（Ⅱ）依題意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A
∴AD⊥平面ABFE，
∴DE在面ABFE上的射影是AE．
∴∠DEA就是DE與平面ABFE所成的角．
故在Rt△DAE中：tan∠DEA=

DA

AE

=

DA

2

=

2

2

∴AD=

2

， DE=

6

．
設P∈EF且AP⊥EF，分別以AB，AP，AD所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則A(0，0，0)，D(0，0，

2

)，E(-

2

，

2

，0)，F(3

2，

2

，0)
∴

AD

=(0，0，

2

)， 

AE

=(-

2

，

2

，0)， 

DE

=(-

2

，

2

，-

2

)， 

DC

=(2

2

，0，0)
設

m

=(x，y，z)， 

n

=(r，s，t)分別是平面ADE與平面CDFE的法向量
令

m • AD =0 m • AE =0

  ，

n • DC =0 n • DE =0

，
即

2 z=0 - 2 x+ 2 y=0

  ，

2 2 x=0 - 2 x+ 2 y- 2 z=0

取

m

=(1，1，0)， 

n

=(0，1，1)
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

∴平面ADE與平面CDFE所成銳二面角的大小為

π

3

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定與性質，直線與平面平行的判定，線面夾角，是立體幾何知識的綜合考查，難度較大．