Question

【題目】已知函數

(1)若關于的不等式的解集為,求的值;

(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 不等式可化為，而解集為，可利用韋達定理或直接代入即可得到答案；

（2）法一：討論和時，分離參數利用均值不等式即可得到取值范圍；

法二：利用二次函數在上大于等于0恒成立，即可得到取值范圍.

（1）法一：不等式可化為，其解集為，

由根與系數的關系可知，

解得，經檢驗時滿足題意.

法二：由題意知，原不等式所對應的方程的兩個實數根為和4，

將（或4）代入方程計算可得，經檢驗時滿足題意.

（2）法一：由題意可知恒成立，

①若，則恒成立，符合題意。

②若，則恒成立，而，

當且僅當時取等號，所以，即.

故實數的取值范圍為.

法二：二次函數的對稱軸為.

① 若，即，函數在上單調遞增，恒成立，

故；

②若，即，此時在上單調遞減，在上單調遞增，

由得.

故；

③若，即，此時函數在上單調遞減，

由得，與矛盾，故不存在.

綜上所述，實數的取值范圍為.