Question

【題目】f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
B.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C.（﹣3，0）∪（3，+∞）
D.（﹣3，0）∪（0，3）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：令h（x）=f（x）g（x），則h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函數h（x）在R上是奇函數． ①∵當x＜0時，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0時單調遞增，
故函數h（x）在R上單調遞增．
∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），
∴x＜﹣3．
②當x＞0時，函數h（x）在R上是奇函數，可知：h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，
∴h（x）＜0，的解集為（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故選：A
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)，還要掌握利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)的相關知識才是答題的關鍵．