Question

【題目】已知函數f（x）為R上的偶函數，g（x）為R上的奇函數，且f（x）+g（x）=log4（4x+1）．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若函數h（x）=f（x）﹣ 在R上只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為， …①，

∴ ，∴ …②

由①②得， ，

（2）解：

由

= ．

得： ，

令t=2x，則t＞0，即方程 …（*）只有一個大于0的根，

①當a=1時， ，滿足條件；

②當方程（*）有一正一負兩根時，滿足條件，則 ，∴a＞1，

③當方程（*）有兩個相等的且為正的實根時，

則△=8a2+4（a﹣1）=0，∴ ，a=﹣1（舍） 時， ，

綜上： 或a≥1

【解析】（1）利用函數的奇偶性列出方程組求解即可得到函數的解析式．（2）利用函數只有一個零點，通過換元法，對a討論，結合二次函數的性質求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．