Question

【題目】設函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣ ＜φ＜ ，x∈R）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移 個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的 （縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，當x∈[﹣ ， ]時，求函數g（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由圖象知，A=2，

又 = ﹣ = ，ω＞0，

所以T=2π= ，得ω=1．

所以f（x）=2sin（x+φ），

將點（ ，2）代入，得 +φ=2kπ+ （k∈Z），

即φ= +2kπ（k∈Z），又﹣ ＜φ＜ ，

所以，φ= ．

所以f（x）=2sin（x+ ）．

故函數y=f（x）的解析式為：f（x）=2sin（x+ ）．

（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象沿x軸方向右平移 個單位長度，

得到的圖象對應的解析式為：y=2sinx，

再把橫坐標縮短到原來的 （縱坐標不變），得到的圖象對應的解析式為：g（x）=2sin2x，

∵x∈[﹣ ， ]，

∴﹣ ≤2x≤ ，

∴2sin2x∈[﹣1，2]，可得：g（x）∈[﹣1，2]

【解析】（Ⅰ）由圖象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由點（ ，2）在函數圖象上，結合范圍﹣ ＜φ＜ ，可求φ，從而解得函數解析式．（Ⅱ）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可求g（x），利用正弦函數的圖象和性質即可得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．