Question

已知數列{a_n}滿足a_n=n，n∈N⁺．
（1）若m+p=3t，且m≠p，對任意的正整數m，p，t，不等式a²m+a²p＞c•a²t都成立，求實數c的取值范圍；
（2）設A=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，求證2

n+1

-2＜A＜2

n

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用基本不等式證明即可；
（2）利用數學歸納法進行證明．

解答： （1）解：當a，b為實數時，a²+b²≥2ab，a²+b²+a²+b²≥2ab+a²+b²，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²，當且僅當a=b時取等號，
∴（a²+b²）≥

(a+b)2

2

由題設知：∵am²+ap²＞c•at²，
∴m²+p²＞ct²
∴（

m

t

）²+（

p

t

）²＞c
∵m+p=3t
∴（

m

t

）²+（

p

t

）²≥

1

2

（

m

t

+

p

t

）²=

9

2

當且僅當

m

t

=

p

t

時即m=p時取等號，
∵m≠p，∴上式取不到等號，
∴c≤

9

2

；
（2）證明：①當n=1時，A=1，滿足題意；
②假設當n=k時命題成立，即 2

k+1

-2＜A＜2

k

那么當n=k+1時，由歸納假設知：2

k+1

-2+

1

k+1

＜A＜2

k

+

1

k+1

∵

k+1

＞

k+1 + k

2

，
∴

1

k+1

＜2（

k+1

-

k

）
∴2

k

+

1

k+1

＜2

k+1

∵5k+1＞0
∴9k+9＞4k+8
∴9（k+1）＞4（k+2）
∴3

k+1

＞2

k+2

∴3

k+1

-2＞2

k+2

-2
∴此時 A＞2

k+2

-2，
即當n=k+1時，結論成立．
由①②知：2

n+1

-2＜A＜2

n

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查基本不等式的運用，考查數學歸納法，正確運用證明方法是關鍵．