Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²，g（x）=

1

3

-mx，m是實數．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極大值，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）在區間（2，+∞）為增函數，求m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，函數h（x）=f（x）-g（x）有三個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，由f′（1）=0，解出即可；
（Ⅱ）由f′（x）=x²-（m+1）x，得f′（x）=x（x-m-1）≥0在區間（2，+∞）恒成立，即m≤x-1恒成立，由x＞2，得m≤1，
（Ⅲ）先求出h′（x）=（x-1）（x-m）=0，分別得m=1時，m＜1時的情況，進而求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-（m+1）x，
由f（x）在x=1處取到極大值，得f′（1）=1-（m+1）=0，
∴m=0，（符合題意）；
（Ⅱ）f′（x）=x²-（m+1）x，
∵f（x）在區間（2，+∞）為增函數，
∴f′x）=x（x-m-1）≥0在區間（2，+∞）恒成立，
∴x-m-1≥0恒成立，即m≤x-1恒成立，
由x＞2，得m≤1，
∴m的范圍是（-∞，1]．
（Ⅲ）h（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx-

1

3

，
∴h′（x）=（x-1）（x-m）=0，解得：x=m，x=1，
m=1時，h′（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上是增函數，不合題意，
m＜1時，令h′x）＞0，解得：x＜m，x＞1，令h′（x）＜0，解得：m＜x＜1，
∴h（x）在（-∞，m），（1，+∞）遞增，在（m，1）遞減，
∴h（x）_極大值=h（m）=-

1

6

m³+

1

2

m²-

1

3

，h（x）_極小值=h（1）=

m-1

2

，
要使f（x）-g（x）有3個零點，
需

- 1 6 m3+ 1 2 m2- 1 3 ＞0 m-1 2 ＜0

，解得：m＜1-

3

，
∴m的范圍是（-∞，1-

3

）．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的極值問題，考查導數的應用，參數的范圍，是一道綜合題．