Question

【題目】設拋物線的頂點在坐標原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）設直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點，連結QF并延長交拋物線的準線于點R，當直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的方程為x2=2py（p＞0），

準線方程為y=﹣ ，

由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+ ）=8，

解得p=2，

即有拋物線的方程為x2=4y

（2）

解：設直線PQ的方程為y=kx+6，代入拋物線的方程，可得

x2﹣4kx﹣24=0，

設P（x1， ），Q（x2， ），

可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，

由y= x2的導數為y′= x，

設R（t，﹣1），可得kPR= = x1，

可得t= x1﹣ ，

再由Q，F，R共線，可得 = ，

消去t，可得 = ，

即有16x1x2=4（x12+x22）﹣16﹣（x1x2）2，

即有16×（﹣24）=4[（4k）2+2×24]﹣16﹣242，

解方程可得k=± ，

即有直線m的方程為y=± x+6

【解析】（1）設拋物線的方程為x2=2py（p＞0），求出準線方程，運用拋物線的定義和中位線定理，可得2（3+ ）=8，解得p，即可得到拋物線的方程；（2）設直線PQ的方程為y=kx+6，代入拋物線的方程，運用韋達定理，結合導數求得切線的斜率，再由兩點的方斜率公式，以及三點共線的條件：斜率相等，化簡整理解方程可得k的值，客人得到直線m的方程．