Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，

得x＞﹣5，所以x≥4成立；

當(dāng)﹣ ≤x＜4時(shí)，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，

得x＞1，所以1＜x＜4成立；

當(dāng)x＜﹣ 時(shí)，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．

綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜﹣5}

（2）解：令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|

≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，

當(dāng)﹣ 時(shí)等號(hào)成立．

即有F（x）的最小值為9，

所以m≤9．

即m的取值范圍為（﹣∞，9]

【解析】（1）對(duì)x討論，分當(dāng)x≥4時(shí)，當(dāng)﹣ ≤x＜4時(shí)，當(dāng)x＜﹣ 時(shí)，分別解一次不等式，再求并集即可；（2）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范圍．