Question

【題目】定義在R上的函數f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且對于任意實數x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N* ， n≥2），都有f（x）= f（ ﹣1）．若g（x）=f（x）﹣logax有且只有三個零點，則a的取值范圍是（ ）
A.[2，10]
B.[ ， ]
C.（2，10）
D.[2，10）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當x∈[0，2]時，f（x）=4（1﹣|x﹣1|）， 當n=2時，x∈[2，6]，此時 ﹣1∈[0，2]，則f（x）= f（ ﹣1）= ×4（1﹣| ﹣1﹣1|）=2（1﹣| ﹣2|），
當n=3時，x∈[6，14]，此時 ﹣1∈[2，6]，則f（x）= f（ ﹣1）= ×2（1﹣| ﹣ |）=1﹣| ﹣ |，
由g（x）=f（x）﹣logax=0，得f（x）=logax，分別作出函數f（x）和y=logax的圖象，

若0＜a＜1，則此時兩個函數圖象只有1個交點，不滿足條件．
若a＞1，當對數函數圖象經過A時，兩個圖象只有2個交點，當圖象經過點B時，兩個函數有4個交點，
則要使兩個函數有3個交點，則對數函數圖象必須在A點以下，B點以上，
∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），
即滿足 ，
即 ，解得 ，
即2＜a＜10，
故選：C．
由g（x）=f（x）﹣logax=0，得f（x）=logax，分別作出函數f（x）和y=logax的圖象，利用數形結合即可得到結論．