Question

【題目】已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為常數，設e為自然對數的底數．
（1）當a=﹣1時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區間（0，e]上的最大值為﹣3，求a的值；
（3）設g（x）=xf（x），若a＞0，對于任意的兩個正實數x1 ， x2（x1≠x2），證明：2g（ ）＜g（x1）+g（x2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：易知f（x）定義域為（0，+∞），

當a=﹣1時，f（x）=﹣x+lnx， ，

令f′（x）=0，得x=1．

當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．

f（x）max=f（1）=﹣1．

∴函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為﹣1

（2）解：∵ ．

①若 ，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上是增函數，

∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合題意，

②若 ，則由 ，即

由 ，即 ，

從而f（x）在（0，﹣ ）上增函數，在（﹣ ，e]為減函數

∴

令 ，則 ，

∴a=﹣e2

（3）證明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0

∴ ，

∴g′（x）為增函數，不妨令x2＞x1

令 ，

∴ ，

∵ ，

∴

而h（x1）=0，知x＞x1時，h（x）＞0

故h（x2）＞0，

即

【解析】（1）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，求其極大值，若是唯一極值點，則極大值即為最大值．（2）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，對a進行分類討論并判斷其單調性，根據f（x）在區間（0，e]上的單調性求其最大值，并判斷其最大值是否為﹣3，若是就可求出相應的最大值．（3）先求導，再求導，得到g′（x）為增函數，不妨令x2＞x1 ， 構造函數 ，利用導數即可證明