Question

【題目】如圖所示，已知長方體ABCD中， 為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．
（1）求證：平面ADM⊥平面ABCM；
（2）是否存在滿足 的點E，使得二面角E﹣AM﹣D為大小為 ．若存在，求出相應的實數t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵長方形ABCD中，AB=2AD=2 ，M為DC的中點，

∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM，

∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，

又BM平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM

（2）解：以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作平面ABCM的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系，

則A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0），

=（0，2，0）， =（1，﹣2，1）， = =（t，2﹣2t，1），

設平面AME的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，

取y=t，得 =（0，t，2t﹣2），

由（1）知平面AMD的一個法向量 =（0，1，0），

∵二面角E﹣AM﹣D為大小為 ，

∴cos = = = ，

解得t= 或t=2（舍），

∴存在滿足 的點E，使得二面角E﹣AM﹣D為大小為 ，相應的實數t的值為 ．

【解析】（1）推導出BM⊥AM，AD⊥BM，從而BM⊥平面ADM，由此能證明平面ADM⊥平面ABCM．（2）以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作平面ABCM的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在滿足 的點E，使得二面角E﹣AM﹣D為大小為 ，并能求出相應的實數t的值．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．