Question

【題目】如圖，等腰直角中是直角，平面平面，，，.

（1）求證；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由及為直角可得到，結合已知條件命題得證。

（2）作，連結.由（1）得： ，作，再證得：平面，則即為所求線面角. 解三角形BFH即可。

解：（1）證明：直角中∠B是直角，即，

， ，

，，

又，.

（2）方法一：作，連結.

由（1）知平面，

得到，又，所以平面.

又因為平面，所以平面 平面.

作于點H，易得平面，

則即為所求線面角.

設，由已知得，，

，，

.

則直線與平面所成角的正弦值為.

方法二：建立如圖所示空間直角坐標系，

因為.

由已知，，，，

，

，，

設平面的法向量為，則有

，令，則.

即.

所以直線與平面所成角的正弦值.

方法三（等積法）：設2AF=AB=BE=2，為等腰三角形，AB=BC=2

∠FAB=60°，2AF=AB ，又AF//BE，.

由（1）知，，

，，

，，

又，則有.

令到平面距離為，有，

故所求線面角.