Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面為正三角形，側面底面，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據題意可證明平面底面,由面面垂直的性質可證明平面;

（2）由題意可證明,則以為坐標原點建立空間直角坐標系.寫出各個點的坐標,并求得平面和平面的法向量,即可利用法向量法求得兩個平面形成二面角的余弦值大小,結合同角三角函數關系式,即可求得求二面角的正弦值.

（1）證明：∵底面是正方形,

∴,

∵側面底面,側面底面,

∴由面面垂直的性質定理,得平面.

（2）設,的中點為,的中點為,

則,.由面面垂直的性質定理知平面,

又平面,故.

以為坐標原點,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵側面為正三角形,

∴,

則,,,,

∵為的中點,

∴,

∴,,

設平面的法向量,

則,即,即,

所以可取,

平面的法向量可取,

于是,

由同角三角函數關系式可求得

所以,二面角的正弦值為.