Question

【題目】已知函數在單調遞增，其中．

（1）求的值；

（2）若，當時，試比較與的大小關系（其中是的導函數），請寫出詳細的推理過程；

（3）當時， 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）略 （3）

【解析】試題分析：函數在某區間上單調遞增，只需函數的導數大于零在此區間上恒成立，利用恒成立極值原理求出滿足的條件，求出的值；第二步比較大小可以轉化為研究函數的單調性和極值問題去解決，第三步可以利用作差法構造函數，通過利用導數研究函數單調性和極值，達到證明不等式的目的.

試題解析：

（1）∵在單調遞增，

∴ 在上恒成立，即（）恒成立，

∵當時， ，

∴，又，∴，

∴，∴．

（2）由（1）可知，

∴，∴，

∴，

令， ，

∴， ，

∴在上單調遞增，∴，

令，則在單調遞減，

∵， ，

∴，使得在單調遞增，在單調遞減，

∵， ，

∴，

∴，

又兩個函數的最小值不同時取得，

∴，即．

（3）∵恒成立，即恒成立，

令，則，

由（1）得，即（），∴（），

即（），∴，

∴，

當時，∵，∴，

∴單調遞減，∴，符合題意；

當時， 在上單調遞增，

∴，

∴單調遞增，∴符合題意，

當時， ，∴在上單調遞增，

又，且， ，

∴在存在唯一零點，

在單調遞減，在單調遞增，

∴當時， ，

∴在單調遞減，∴，不合題意．

綜上， ．