Question

【題目】設點是軸上的一個定點，其橫坐標為（），已知當時，動圓過點且與直線相切，記動圓的圓心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）當時，若直線與曲線相切于點（），且與以定點為圓心的動圓也相切，當動圓的面積最小時，證明： 、兩點的橫坐標之差為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由切線的性質知點到點的距離與到直線的距離相等，即點的軌跡為以點為焦點，直線為準線的拋物線，由此可得方程；

（Ⅱ）設出直線方程為，與拋物線方程聯立方程組，利用相切（判別式為0）可得斜率，點到此直線的距離就是圓的半徑，變形為用基本不等式求出它的最小值，而最小值時恰好有，結論得證．

試題解析：

（Ⅰ）因為圓與直線相切，所以點到直線的距離等于圓的半徑，

所以，點到點的距離與到直線的距離相等.

所以，點的軌跡為以點為焦點，直線為準線的拋物線，

所以圓心的軌跡方程，即曲線的方程為．

（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，

由得，

又，所以，

因為直線與曲線相切，所以，解得．

所以，直線的方程為．　

動圓的半徑即為點到直線的距離.

當動圓的面積最小時，即最小，而當時；

.

當且僅當，即時取等號，

所以當動圓的面積最小時， ，

即當動圓的面積最小時， 、兩點的橫坐標之差為定值.