Question

【題目】函數y=f（x）圖象上不同兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）處的切線的斜率分別是kA ， kB ， 規定φ（A，B）= 叫曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題： 1）函數y=x3﹣x2+1圖象上兩點A、B的橫坐標分別為1，2，則φ（A，B）＞ ；
2）存在這樣的函數，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數；
3）設點A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點，則φ（A，B）≤2；
4）設曲線y=ex上不同兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，則實數t的取值范圍是（﹣∞，1）；
以上正確命題的序號為（寫出所有正確的）

Answer 1

【答案】（2）（3）
【解析】解：對于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x， 則 ， ，
y1=1，y2=5，則 ，
φ（A，B）= ，（1）錯誤；
對于（2），常數函數y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數，（2）正確；
對于（3），設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），y′=2x，
則kA﹣kB=2x1﹣2x2 ， =
= ．
∴φ（A，B）= = ，（3）正確；
對于（4），由y=ex ， 得y′=ex ， φ（A，B）= = ．
tφ（A，B）＜1恒成立，即 恒成立，t=1時該式成立，∴（4）錯誤．
故答案為：（2）（3）．
由新定義，利用導數逐一求出函數y=x3﹣x2+1、y=x2+1在點A與點B之間的“彎曲度”判斷（1）、（3）；舉例說明（2）正確；求出曲線y=ex上不同兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）之間的“彎曲度”，然后結合tφ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明（4）錯誤．