Question

【題目】我們把定義在上，且滿足（其中常數，滿足，，）的函數叫做似周期函數.

（1）若某個似周期函數滿足且圖像關于直線對稱，求證：函數是偶函數；

（2）當，時，某個似周期函數在時的解析式為，求函數，的解析式；

（3）對于確定的且當時，，試研究似周期函數在區間上是否可能是單調函數？若可能，求出的取值范圍；若不可能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）可能，

【解析】

（1）先閱讀新定義，再利用偶函數的定義證明即可；

（2）由時的解析式為，結合函數的周期求解即可；

（3）由分段函數在各段上的單調性，研究函數在整體上的單調性，從而得解.

解：（1）因為函數的圖像關于直線對稱，則，

又函數滿足，則，用替換得，

則，又，，所以，

故函數是偶函數；

（2）似周期函數在時的解析式為，

當時，，

，

故，；

（3）當時，，

，

顯然當時，函數在區間上不是單調函數，

又當時，，是增函數，

此時，

若似周期函數在區間上是單調函數，則只能是增函數，

即，即，

故的取值范圍為.