Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形， 垂直于底面， ，點(diǎn)為線段（不含端點(diǎn)）上一點(diǎn).

（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的正弦值；

（2）已知二面角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解出平面，再根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求與平面所成角的正弦值；（2）列方程組解出平面，再根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列等量關(guān)系，解方程可得的值.；

試題解析：（1）以為原點(diǎn)， ， ， 為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，則， ， ， ， ， ；

所以， ， ，

設(shè)平面的法向量，則，

即，解得，所以平面的一個(gè)法向量，

，

則與平面所成角的正弦值為.

（2）由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，則， ， ，設(shè)平面的法向量，則，即，解得，所以平面的一個(gè)法向量，

由題意得 ，

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以，則.