Question

【題目】如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分別是棱AD，SC，AB的中點．

（Ⅰ）求證：PQ∥平面SAD；

（Ⅱ）求證：AC⊥平面SEQ；

（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

【答案】1

【解析】

試題（Ⅰ）證明：取SD中點F，連結AF，PF．

因為 P，F分別是棱SC，SD的中點，

所以 FP∥CD，且FP=CD．

又因為菱形ABCD中，Q是AB的中點，

所以 AQ∥CD，且AQ =CD．

所以 FP//AQ且FP=AQ．

所以 AQPF為平行四邊形．

所以 PQ//AF．

又因為平面，

平面，

所以 PQ//平面SAD ． 5分

（Ⅱ）證明：連結BD，

因為 △SAD中SA=SD，點E棱AD的中點，

所以 SE⊥AD．

又 平面SAD⊥平面ABCD，

平面SAD平面ABCD=AD，

SE平面，

所以 SE⊥平面ABCD，

所以SE⊥AC．

因為 底面ABCD為菱形，

E，Q分別是棱AD，AB的中點，

所以 BD⊥AC，EQ∥BD．

所以 EQ⊥AC，

因為 SEEQ=E，

所以 AC⊥平面SEQ． 11分

（Ⅲ）解：因為菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，

所以．

因為SA=AD=SD=2，E是AD的中點，所以SE=．

由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，

所以三棱錐S-ABC的體積=． 14分