Question

【題目】已知橢圓： 的左右焦點分別為， ，左頂點為，上頂點為， 的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線： 與橢圓相交于不同的兩點， ， 是線段的中點.若經過點的直線與直線垂直于點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由題意可知.，由，可求得橢圓方程。（2）分和討論，當時，因為兩直線互相垂直，所以直線的方程為， 即點到直線的距離， 即點到直線的距離，用點到直線的距離公式計算，結合韋達定理，把長度表示為k的形式，所以表示為k的函數，即可求范圍。

試題解析：（1）由已知，有.

又，∴.

∵，∴.

∴橢圓的方程為.

（2）①當時，點即為坐標原點，點即為點，則， .

∴.

②當時，直線的方程為.

則直線的方程為，即.

設， .

聯立方程，消去，得 .

此時.

∴， .∴.

∵即點到直線的距離，

∴ .

又即點到直線的距離，∴.

∴.

令，則.

∴ .

即時，有.

綜上，可知的取值范圍為.