Question

【題目】設函數，，且對所有的實數，等式都成立，其、、、、、、、，、．

（1）如果函數，，求實數的值；

（2）設函數，直接寫出滿足的兩個函數；

（3）如果方程無實數解，求證：方程無實解．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，答案不唯一；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據已知條件直接代入計算即可；

（2）驗證滿足條件，再者若，則等式也滿足，由此可得出符合條件的函數的兩個不同的解析式；

（3）假設方程有實數解，利用反證法推出與已知條件矛盾，進而證明結論成立.

（1），，則，

，

，，解得；

（2）若，則，，此時；

若，則，，此時.

所以，當時，滿足的函數的兩個解析式可以是，（答案不唯一）；

（3）假設方程有實數解，設，

則，，

兩式相減得，所以，，

由零點存在定理可知，存在，使得，

無實根，則永遠不成立，推出假設不成立.

所以，方程無實數解，方程也無實解.