Question

【題目】已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）

A.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

B.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

C.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

D.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用周期函數(shù)的定義，通過取特值，結(jié)合二倍角公式求得最小正周期的可能的一系列的值，然后從小到大進(jìn)行檢驗(yàn)，得到函數(shù)的最小正周期；利用二倍角的三角函數(shù)公式展開整理，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)判定單調(diào)性，進(jìn)而作出判定.

設(shè)是的周期，則,即，

∴,∴或,,

若,則，

當(dāng)時，

）,

∴π不是的周期，

若,則，

當(dāng)時，

）,，

∴不是函數(shù)f(x)的周期，

,則，

當(dāng)時，

,

，∴不是函數(shù)f(x)的周期，

,則，,

∴是的周期，

∴是的最小正周期.

關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性：

,

在上,從0遞增到1，再從1遞減到0，從遞增到，再遞減到，

從遞減到0，再從0遞增到，再從遞減到0，再從0遞增到，

∴在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，

在上，從-1單調(diào)遞增到,從單調(diào)遞增到0，

從單調(diào)遞減到0，∴從-3單調(diào)遞增到，

綜上所述，ABC錯誤,D正確.

故選:D.