【題目】已知函數(shù)
的圖象在點
處的切線斜率為
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求實數(shù)
的值，并求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：
．
【答案】（1）
，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間
，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．
（2）要證明原不等式成立，可轉(zhuǎn)化為證明求解相應(yīng)函數(shù)的范圍，進行合理的變形后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證．
解：（1）函數(shù)
的定義域為
.
，由題意可得，
e，故a
，
.
當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
.
（2）證明：設(shè)
，則
.
當(dāng)x
時，
，函數(shù)
單調(diào)遞減，當(dāng)x
時，
，函數(shù)單調(diào)遞增，故
.
設(shè)
，則
，當(dāng)
時，
，函數(shù)
單調(diào)遞增，當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞減，故
.
綜上可得，
時，恒有
，即
．
互動課堂系列答案
激活思維智能訓(xùn)練課時導(dǎo)學(xué)練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是（ ）
A.90B.120C.210D.216
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，上頂點為M，過點M且斜率為
的直線與交于另一點N，過原點的直線l與交于P，Q兩點
（1）求
周長的最小值：
（2）是否存在這樣的直線，使得與直線
平行的弦的中點都在該直線上?若存在，求出該直線的方程：若不存在，請說明理由.
（3）直線l與線段相交，且四邊形
的面積
，求直線l的斜率k的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了提高生產(chǎn)線的運行效率，工廠對生產(chǎn)線的設(shè)備進行了技術(shù)改造.為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，并繪制了如下莖葉圖：
（Ⅰ）（1）設(shè)所采集的40個連續(xù)正常運行時間的中位數(shù)
，并將連續(xù)正常運行時間超過和不超過的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表：
超過 | 不超過 | |
改造前 |
|
|
改造后 |
|
|
試寫出
，
，
，
的值；
（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，能否有
的把握認為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異？
附：
，
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（Ⅱ）工廠的生產(chǎn)線的運行需要進行維護.工廠對生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費、保障維護費兩種對生產(chǎn)線設(shè)定維護周期為
天（即從開工運行到第
天（
）進行維護.生產(chǎn)線在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)線能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生保障維護費；若生產(chǎn)線不能連續(xù)運行，則產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)測算，正常維護費為0.5萬元
次；保障維護費第一次為0.2萬元周期，此后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個生產(chǎn)周期（以120天計）內(nèi)的維護方案：
，
，2，3，4.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及期望值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（ ）
A.[
，
]B.[
，]C.[
，
]D.[，]
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，則下列判斷正確的是（ ）
A.函數(shù)
的最小正周期為
，在
上單調(diào)遞增
B.函數(shù)的最小正周期為
，在
上單調(diào)遞增
C.函數(shù)的最小正周期為
，在上單調(diào)遞增
D.函數(shù)的最小正周期為，在上單調(diào)遞增
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某市積極貫徹落實國務(wù)院《“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案》，空氣質(zhì)量明顯改善.該市生態(tài)環(huán)境局統(tǒng)計了某月（30天）空氣質(zhì)量指數(shù)，繪制成如下頻率分布直方圖.已知空氣質(zhì)量等級與空氣質(zhì)量指數(shù)對照如下表：
空氣質(zhì)量指數(shù) |
|
|
|
|
| 300以上 |
空氣質(zhì)量等級 | 一級 （優(yōu)） | 二級 （良） | 三級 （輕度污染） | 四級 （中度污染） | 五級 （重度污染） | 六級 （嚴重污染） |
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計，在這30天中，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良的天數(shù)；
（2）根據(jù)體質(zhì)檢查情況，醫(yī)生建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于90時，市民甲不宜進行戶外體育運動；當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于70時，市民乙不宜進行戶外體育運動（兩人是否進行戶外體育運動互不影響）.
①從這30天中隨機選取2天，記乙不宜進行戶外體育運動，且甲適宜進行戶外體育運動的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②以該月空氣質(zhì)量指數(shù)分布的頻率作為以后每天空氣質(zhì)量指數(shù)分布的概率（假定每天空氣質(zhì)量指數(shù)互不影響），甲、乙兩人后面分別隨機選擇3天和2天進行戶外體育運動，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜進行戶外體育運動的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2．
（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足
，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）曲線C2上兩點
與點B（ρ2，α），求△OAB面積的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延.疫情就是命令，防控就是責(zé)任.在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團結(jié)一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭.下側(cè)的圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情變化情況，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢且19日的降幅最大
B.16天中每日新增確診病例的中位數(shù)大于新增疑似病例的中位數(shù)
C.16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例的極差均大于
D.19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和
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