Question

【題目】已知函數是定義在R上的偶函數，且當時，（）.

（1）當時，求的表達式：

（2）求在區間的最大值的表達式；

（3）當時，若關于x的方程（a，）恰有10個不同實數解，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據偶函數的特點，可知，可得結果.

（2）采用分類討論方法，與，去掉絕對值研究函數在區間上的單調性，可得結果.

（3）畫出函數圖像，利用換元法，得出與，可轉化為兩個根為，可得，最后計算可得結果.

（1）令，則

由當時，

所以

又函數是定義在R上的偶函數，

即

所以

所以當時，

（2）當時，

如圖

可知函數的最大值在或處取得，

所以，

①若，此時

②若，此時；

當時，，對稱軸為

③若，即時，則，

④若，即時，則

綜上，得

（3）當時，

如圖

令

由的圖象可知，

當時，方程有兩解；

當時，方程有四解；

當時，方程有六解；

當時，方程有三解；

當時，方程無解.

要使方程（a，）

恰有10個不同實數解，

則關于t的方程的一個根為1，

另一個根，設，則有

則

所以a的取值范圍為.