【題目】已知長度為
的線段
的兩個端點
分別在
軸和
軸上運動，動點
滿足
，設動點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點
，且斜率不為零的直線
與曲線交于兩點
，在軸上是否存在定點
，使得直線
與
的斜率之積為常數？若存在，求出定點的坐標以及此常數；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在兩個定點
，
，使得直線
與
的斜率之積為常數，當定點為時，常數為
，當定點為時，常數為
【解析】
（1）設
，
，
，利用向量關系
坐標化，可得曲線
的方程；
（2）由題意設直線
的方程為
，
，
，假設存在定點
，使得直線與的斜率之積為常數，將
表示成關于
的函數，利用恒成立問題，可得定點坐標.
（1）設，，，
由于，所以
，
即
，所以
.又因為
，所以
，
從而
，即曲線的方程為.
（2）由題意設直線的方程為，，，
由
得
，所以
，
故
，
.
假設存在定點，使得直線與的斜率之積為常數，則
.
當
，且
時，
為常數，解得
.
顯然當
時，常數為；當
時，常數為.
所以存在兩個定點，，使得直線與的斜率之積為常數，當定點為時，常數為，當定點為時，常數為.
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三新快車金牌周周練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】分形幾何學是數學家伯努瓦·曼得爾布羅在20世紀70年代創立的一門新的數學學科，它的創立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規律可得如圖乙所示的一個樹形圖：記圖乙中第
行黑圈的個數為
，則（1）
_______；（2）
______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國古代數學經典《數書九章》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬
中，底面ABCD是矩形.
平面
，
，
，以
的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.
（1）證明：
平面
，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市對所有高校學生進行普通話水平測試，發現成績服從正態分布N（μ，σ2），下表用莖葉圖列舉出來抽樣出的10名學生的成績．
（1）計算這10名學生的成績的均值和方差；
（2）給出正態分布的數據：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
由（1）估計從全市隨機抽取一名學生的成績在（76，97）的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現了楊輝三角.在歐洲，帕斯卡在1654年也發現了這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國古代數學的杰出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
（1）記楊輝三角的前n行所有數之和為
，求的通項公式；
（2）在楊輝三角中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數之比為
？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；
（3）已知n，r為正整數，且
.求證：任何四個相鄰的組合數
，
，
，
不能構成等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是定義在R上的偶函數，且當
時，
（
）.
（1）當
時，求的表達式：
（2）求在區間
的最大值
的表達式；
（3）當
時，若關于x的方程
（a，
）恰有10個不同實數解，求a的取值范圍.
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