Question

【題目】已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為OA的中點(diǎn)，若以AM為直徑的圓與E的漸近線相切，則雙曲線E的離心率等于（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)雙曲線的方程和其幾何性質(zhì)得出以AM為直徑的圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑r＝，再由圓心到雙曲線的漸近線的距離建立關(guān)于的方程，再根據(jù)雙曲線的離心率公式可得選項(xiàng).

由題意知，雙曲線E的右頂點(diǎn)為A(a，0)，漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0.

由M為OA的中點(diǎn)，可知 ．

故以AM為直徑的圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑r＝，|AM|＝，

又雙曲線的漸近線與圓相切，所以圓心到漸近線的距離等于圓的半徑，即＝，

整理得＝3b，即c＝3，即，

從而得e2＝，所以e＝，

故選：A.