Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于點，兩點，是該拋物線上位于第一象限內的點.

（Ⅰ） 記直線的斜率分別為，求證：為定值；

（Ⅱ）過點作，垂足為.若關于軸的對稱點恰好在直線上，求的面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意寫出的坐標，設，，分別表示出，計算即可；

（Ⅱ）由題知直線的斜率為，由得，從而求解得到點的坐標及直線和的方程，聯立得點坐標，根據三角形面積公式求出即可.

（Ⅰ）令，則，解得，

點，的坐標分別為，，

是該拋物線上位于第一象限內的點，

設點，，

，，

，即為定值.

（Ⅱ）關于軸的對稱點恰好在直線上，

直線關于軸對稱，

，

，

，即，

解得（負值舍去），

，，，

直線方程為，直線方程，

聯立直線與的方程，

則，

解得，

，

的面積.