【題目】已知函數
.
（1）求曲線
在點
處的切線方程；
（2）證明：
.
【答案】（1）所求切線方程為
；（2）
【解析】
試題（1）先求出導函數
，根據對數的幾何意義可得切線斜率，利用點斜式可得切線方程；（2）要證
，只需證
，利用導數研究兩函數的單調性，從而求出兩函數的最值即可證明
，進而可得結論.
試題解析：（1）因為
，
所以
，
因為
，所以曲線
在點
處的切線方程為
.
（2）證明：要證，只需證
，
設
，
則
，
令
得
，令
得
，所以
，
因為
，所以
，
又
，所以，
從而，即.
【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線、利用導數研究函數的單調性進而求最值以及利用導數證明不等式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出
在
處的導數，即在點
出的切線斜率（當曲線在處的切線與
軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線
與
軸相交于點
，
兩點，
是該拋物線上位于第一象限內的點.
（Ⅰ） 記直線
的斜率分別為
，求證：
為定值；
（Ⅱ）過點作
，垂足為
.若關于軸的對稱點恰好在直線
上，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念，記交通指數為T.其范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵，晚高峰時段（T≥2），從某市交通指揮中心選取了市區20個交通路段，依據其交通指數數據繪制的部分直方圖如圖所示.
（1）請補全直方圖，并求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵路段各有多少個？
（2）用分層抽樣的方法從交通指數在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數；
（3）從（2）中抽出的6個路段中任取2個，求至少一個路段為輕度擁堵的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角梯形PBCD中，∠D＝∠C
，BC＝CD＝2，PD＝4，A為PD的中點，如圖1，將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，如圖2．
（1）求證：SA⊥平面ABCD；
（2）若E為SD中點，求D點到面EAC的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方
向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這
樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】蝴蝶定理因其美妙的構圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓
的方程為
，直線
與圓交于
，
，直線
與圓交于
，
.原點
在圓內.
（1）求證：
.
（2）設
交
軸于點
，
交軸于點
.求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,正方形
與梯形
所在的平面互相垂直， 
，
,點
在線段
上.
(Ⅰ) 若點為的中點，求證：
平面；
(Ⅱ) 求證：平面
平面
；
(Ⅲ) 當平面
與平面
所成二面角的余弦值為
時，求
的長.
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