Question

【題目】已知函數是定義在上的奇函數，滿足，當時，有.

（1）求實數的值；

（2）求函數在區間上的解析式，并利用定義證明證明其在該區間上的單調性；

（3）解關于的不等式.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；詳見解析（3）

【解析】

（1）根據是定義在上的奇函數及時的解析式即可得出，并可求出，從而可得出，求出；（2）根據上面知，時，，從而可設，從而得出，從而得出時，，再根據函數單調性的定義即可判斷在上的單調性.（3）不等式等價于，即，解不等式組即得解.

（1）函數是定義在上的奇函數，

，即，，

又因為（2），所以（2），

即，所以，

綜上可知，.經檢驗滿足題意.

（2）由（1）可知當時，，

當時，，且函數是奇函數，

，

當時，函數的解析式為，

任取，，且，則，

，，且，

，，，

于是，即，

故在區間上是單調增函數；

（3）是定義在上的奇函數，且，

，且在上是增函數，

，解得，

原不等式的解集為．