Question

【題目】【2018廣東深圳市高三第一次調研考試】已知函數．

（I）討論函數的單調性；

（II）當時，關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）．

【解析】試題分析：(1)求出的定義域以及導函數，分四種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；(2) ，等價于，討論的范圍，利用導數研究函數的單調性，分別令求出函數的最小值，令最小值大于零，可篩選出符合題意的的取值范圍.

試題解析：(1) 的定義域為.

.

由， ，得， .

①當時， ，在時， ；在時， ，

所以在單調遞減， 在單調遞增；

②當時， ，在時， ；在時， ；在時， .所以在， 單調遞增， 在單調遞減；

③當時， 在上恒成立，所以在單調遞增；

④當時， .在時， ；在時， ；在時， ，所以在， 單調遞增， 在單調遞減；

(2)當時， ， ，即.

設， ，只需，在上恒成立即可.

因為， .

又，所以.

令，得.

當時， ，在上，故單調遞增，

所以恒成立；

當時， ，即，故.

故當時， ，當時， ，此時函數在上單調遞減.

又，所以在上，與題設矛盾.

當時， ，此時函數在上單調遞減.

又，所以在上，與題設矛盾.

綜上， .