Question

【題目】設函數fn（x）=xn+bx+c（n∈N* ， b，c∈R）
（Ⅰ）設n≥2，b=1，c=﹣1，證明：fn（x）在區間（ ）內存在唯一的零點；
（Ⅱ）設n=2，若對任意x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）n≥2，b=1，c=﹣1時，fn（x）=xn+x﹣1，
∵ fn（1）= ＜0，
∴fn（x）在區間（ ）內存在零點，
又 +1＞0，
∴fn（x）在區間（ ，1）上是單調遞增函數，
故fn（x）在區間（ ）內存在唯一的零點；
（Ⅱ）當n=2時， ，
對任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等價于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）max﹣f（x）min≤4，
據此分類討論如下：
①當| |＞1，即|b|＞2時，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，與題設矛盾；
②當﹣1 ＜0，即0＜b≤2時，M= = ≤4恒成立；
②當0＜﹣ ，即﹣2≤b≤0時，M= = 恒成立；
綜上知﹣2≤b≤2
【解析】（Ⅰ）表示出fn（x），根據零點判定定理可得函數在區間（ ）內存在零點，利用導數可判斷函數單調，從而可得零點的唯一性；（Ⅱ）對任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等價于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）max﹣f（x）min≤4，按照對稱軸在區間[﹣′1，1]的外邊、內部進行分類討論，可得函數的最大值、最小值及最大值與最小值的差．