Question

【題目】已知函數，其中常數.

（Ⅰ）討論在上的單調性；

（Ⅱ）當時，若曲線上總存在相異兩點，使曲線在兩點處的切線互相平行，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）求導數，對分類討論，利用導數的正負，即可得到在區間上的單調性；

（2）利用過兩點處的切線互相平行，建立方程，結合基本不等式，再求最值，即可求解的取值范圍。

試題解析：（Ⅰ）由已知得， 的定義域為，且

，

①當時， ，且，

所以時， ； 時， .

所以，函數在上是減函數，在上是增函數；

②當時， ， 在區間內恒成立，

所以在上是減函數；

③當時， ，

所以時， ； 時，

所以函數在上是減函數，在上是增函數.

（Ⅱ）由題意，可得， 且

即，化簡得，

由，得

即對恒成立，

令，則對恒成立

∴在上單調遞增，則，所以，

所以，

故取值范圍為.