Question

（本小題滿分16分）
數列的前n項和為，存在常數A，B，C，使得對任意正整數n都成立。
（１） 若數列為等差數列，求證：3A－B＋C＝０；
（２） 若設數列的前ｎ項和為，求；
（３） 若C=0，是首項為1的等差數列，設，求不超過P的最大整數的值。

Answer 1

⑴見解析；⑵．⑶不超過的最大整數為．

本試題主要是考查了數列的通項公式的求解，以及數列的求和，和運用數列來證明不等式的綜合運用。
（1）利用已知條件中通項公式和前n項和的關系式，得到前幾項，結合等差數列的定義得到關系的證明。
（2）利用第一問的結論，表示數列的通項公式，分析特點，運用錯位相減法等求解前n項和。
（3）根據等差數列得到需要求解的和式，得到結論。
解：⑴因為為等差數列，設公差為，由，
得，
即對任意正整數都成立．
所以所以．      ………………………………4分
⑵ 因為，所以，
當時，，
所以，即，
所以，而，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以． ……………7分
于是．所以①，，②
由①②，
得．
所以．…………………………………………………………………10分
⑶ 因為是首項為的等差數列，由⑴知，公差，所以．
而
，……………………………14分
所以，
所以，不超過的最大整數為．………………………………………………16分