Question

（本小題滿分10分）
已知數列，其前項和為.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求數列的通項公式，并證明數列是等差數列；
（Ⅲ）如果數列滿足，請證明數列是等比數列，并求其前項和.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.。

本試題主要是考查了數列的通項公式與前n項和之間的關系的轉化，以及等差數列的該奶奶，以及數列求和的綜合運用。
（Ⅰ）對于n賦值為1,2,得到首項和第二項的值。
（Ⅱ）根據第一問中前兩項，可以歸納猜想也可以通過當時，

，得到數列的通項公式，并證明數列是等差數列；
（Ⅲ）由已知得 ，
∵
然后借助于等比數列的通項公式求和得到結論。
解：（Ⅰ），，得…   2分
（Ⅱ）當時，

．          ………4分
又滿足，
．      ………5分
∵   ，
∴數列是以5為首項，為公差的等差數列．     ………6分
（Ⅲ）由已知得 ，
∵  ，又，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列.      ………8分
.          ………10分