Question

【題目】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)三點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)在直線上任取一點(diǎn),連接,分別與橢圓交于兩點(diǎn),判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn).若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：由于橢圓過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)，故可設(shè)橢圓方程為，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可以橢圓的方程.（2）的直線均是過(guò)頂點(diǎn)的直線，故通過(guò)聯(lián)立方程組可以得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓及其動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱性可以知道定點(diǎn)如果存在，則必定在軸上，猜出定點(diǎn)的坐標(biāo)為，最后利用斜率證明三點(diǎn)共線.

（1）設(shè)橢圓方程為， 將代入橢圓方程得到，計(jì)算得出，所以橢圓方程為.

（2）直線，直線，聯(lián)立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取，

當(dāng)時(shí)， ， ，所以三點(diǎn)共線；

當(dāng)時(shí)， ， 三點(diǎn)共線；

綜上， 三點(diǎn)共線也就是過(guò)定點(diǎn).