Question

【題目】省環保研究所對某市市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后,發現一天中環境綜合放射性污染指數與時刻 (時)的關系為,其中是與氣象有關的參數,且,若用每天的最大值為當天的綜合放射性污染指數,并記作.

(1)令.求的取值范圍;

(2)求;

(3)省政府規定,每天的綜合放射性污染指數不得超過2,試問目前該市市中心的綜合放射性污染指數是否超標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時不超標,當時超標

【解析】試題分析：（1）中的函數為，它是分式函數，當時可把其轉化為雙勾函數，從而求出的取值范圍.注意需單獨計算.因，故（2）中需分和兩類情況討論的符號，在兩段區間上分別討論函數的單調性得到，比較的大小可以得到的表達式，最后通過解不等式得到的取值范圍，依據該范圍判斷是否超標.

解析：（1）當時， ；

當時， ，當且僅當等號成立，所以 ；

綜上， 的取值范圍是.

（2）當時，記，則.

因為在單調遞減，在上單調遞增，且， ， ，故.

（3）當時，令，得，所以；

當時，令，得，所以；

故當時不超標；當超標.