Question

【題目】已知函數f（x）= 是奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）用定義證明函數f（x）在R上的單調性；
（3）若對任意的x∈R，不等式f（x2﹣x）+f（2x2﹣k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數f（x）的定義域為R，且f（x）是奇函數，

∴f（0）=0，解得a=1

此時f（x）=2x﹣2﹣x，滿足f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函數．

∴a=1．

（2）

證明：任取x1＜x2，則 ， ，

于是f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）= ﹣（ ）＜0，

即f（x1）＜f（x2），故函數f（x）在R上是增函數．

（3）

解：不等式f（x2﹣x）+f（2x2﹣k）＞0可化為：f（x2﹣x）＞﹣f（2x2﹣k）=f（﹣2x2+k）

又由f（x）在R上是增函數，

得x2﹣x＞﹣2x2+k，

即k＜3x2﹣x對任意的x∈R恒成立

∵當x= 時，3x2﹣取最小值 ，

∴k＜

【解析】（1）函數f（x）的定義域為R，且f（x）是奇函數，故f（0）=0，解得a值；（2） 任取x1＜x2 ， 作差判斷f（x1）與f（x2）的大小，根據函數單調性的定義，可得函數f（x）在R上的單調性；（3）若對任意的x∈R，不等式f（x2﹣x）+f（2x2﹣k）＞0恒成立，
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．